Александър Ангелов е завършил Юридическия факултет на СУ „Св. Климент Охридски“ с отличие през 2005 г. През първата половина на 2006 г. завърва следдипломен квалификационен курс в T. M. C. Asser Instituut, Хага, Нидерландия, по право на ЕС, международно търговско право и арбитраж.
От есента на 2006 г. до есента на 2010 г. работи в две от водещите български адвокатски кантори – Адвокатско съдружие „Спасов и Братанов“ и Адвокатско дружество „Димитров, Петров и Ко.“, където се занимава с различни аспекти на търговското право, вещното право, енергетика, финансиране и строителство, включително и с правни спорове в тези области.
Член е на Софийската адвокатска колегия в периода февруари 2007 г. – септември 2010 г. От октомври 2010 г. е съдия, като след завършено обучение в Националния институт на правосъдието е последователно младши съдия в СГС (май 2011 г. – юни 2013 г.), съдия в СРС (юни 2013 г. – декември 2017 г.) и съдия в СГС (декември 2017 г. и досега), като се занимава с дела в областта на гражданското право.
От юли 2020 г. е избран за председател на Центъра за спогодби и медиация към СРС и СГС. Медиацията е тема, към която има интерес още от студентските си години, когато през 2004 г. с колеги организира едни от първите семинари по темата в България. Впоследствие и особено след като започва работа като съдия през 2010 г., има значителен интерес към възможностите, които предлага медиацията. Той участва в различни обучения, семинари и конференции, посветени на медиацията, и подпомага работата на Центъра за спогодби и медиация към СРС и СГС.